Анализ эффективности функционирования сложных систем

Оценка эффективности лежит в основе управленческой деятельности. Опытный руководитель может интуитивно чувствовать, эффективно или неэффективно работает его компания, а также ее подразделения, но определить количественную меру эффективности, а тем более найти оптимальные направления улучшения эффективности без точных измерений и применения высоких технологий невозможно.

В инженерном деле хорошо известно понятие коэффициента полезного действия, который определяется отношением полезно используемой энергии (выход устройства, машины) к общему количеству полученной энергии (т.е. ко входу). В этом случае оценивается эффективность преобразования одного входа (затраченной работы) в один выход (полезную работу).

Если же речь идет об оценке эффективности деятельности производственных компаний или банков, то здесь положение резко меняется: нужно анализировать много входов (затраты на сырье и оборудование, используемый капитал, количество служащих и т.д.) и много выходов (выпускаемая продукция по категориям, доходы по процентам, другие виды доходов и т.д.), главное же, нельзя говорить об эффективности деятельности компании без привязки к окружающей ее экономической, юридической и даже политической среде, т.е. среды ее функционирования.

Сложность оценки эффективности деятельности компаний привела к тому, что, несмотря на большую потребность, реальная технология оценки эффективности деятельности компаний появилась лишь недавно, как один из примеров высокоинтеллектуальных технологий конца ХХ века.

Суть рассматриваемого подхода по оценке эффективности сложных систем состоит в том, что исследуется сложный объект со множеством входов (затрат) и выходов (выпуском продукции) и анализируется его деятельность в окружающей среде функционирования. Назовем этот подход Анализ Среды Функционирования (АСФ). Основоположниками данного подхода были известные американские специалисты А.Чарнес и В.Купер [1,2]. Технология АСФ явилась результатом междисциплинарных исследований в течение последних двух десятилетий в области экономики, системного анализа и исследования операций. Эта технология основывается на фундаментальных положениях математической экономики - теории производственных функций, модели производства Леонтьева, модели экономики фон Неймана, оптимальности Парето [5-7].

Сначала этот инструментарий появился в виде математической абстракции, долго оттачивался, применялся к различным коммерческим и некоммерческим организациям. В последнее время начался настоящий бум по применению этой технологии для анализа деятельности крупных компаний (нефтяных компаний, банков, компьютерных фирм и т.д.). Ведущие мировые научные журналы посвятили технологии АСФ специальные выпуски. На английском языке название этого подхода звучит как Data Envelopment Analysis (DEA) [3,4].

При реализации данной технологии используются современные достижения в области математического программирования, теории и методов решения задач оптимизации большой размерности, а также программного обеспечения.

В нашей стране метод не использовался и практически неизвестен. Однако, потенциальная потребность и эффект от его применения могут быть большими. Это связано со следующими причинами.

Во-первых, выход финансовых и промышленных компаний на международный рынок требует, чтобы они работали с той же эффективностью, что и ведущие западные организации, или, говоря языком метода, были на границе эффективности.

Во-вторых, сложившаяся в настоящее время напряженная финансовая ситуация приводит к необходимости существенной экономии, а это, как неизбежное следствие, к тому, чтобы компании работали с той же (или большей) отдачей (выходом), но с меньшими затратами (входом).

Основные положения технологии АСФ

Рассмотрим множество из n наблюдаемых производственных объектов (ПО), деятельность которых необходимо оценить. Каждый ПО потребляет m входных продуктов и производит r выходных продуктов. Таким образом, пусть Xj = (x1j,..., xmj) > 0 является вектором входных параметров (затрат), а Yj = (y1j,..., yrj) > 0, j=1,...,n, будет вектором выходных параметров (выпуска). Предполагается, что каждый ПО имеет по крайней мере один положительный вход и один положительный выход.

Множество производственных возможностей T определяется как множество таких векторов (X,Y), что вектор выпуска Y может быть произведен при векторе затрат X, т.е. T={(X,Y) | выходной вектор Y > 0 может быть получен при входном векторе X > 0}.

На основе наблюдаемых векторов (Xj,Yj), j=1,..., n, множество производственных возможностей T эмпирически задается следующими постулатами.

Постулат 1 (Выпуклость). Если (X,Y) e T и (X9,Y9) e T, тогда (lX + (1 -l) X9, lY + (1-l) Y9) e T для всех l e [0,1].

Постулат 2 (Монотонность). Если (X,Y) e T и X9 > X, Y9 < Y, тогда (X9,Y9) e T.

Постулат 3 (Минимальная экстраполяция). Множество T является пересечением всех множеств T9, удовлетворяющих Постулатам 1 и 2, при условии, что (Xj,Yj) e T9 для всех j=1,..., n.

Таким образом, множество T строится как расширение по наблюдаемым производственным векторам (Xj,Yj), j=1, ... , n, и определяет возможные, экономически допустимые векторы выпуска Y по векторам затрат X.

Описанный выше формализм производственной модели позволяет среди всех пар векторов затрат и выпуска (X,Y) выделить эффективные производства.

Определение. Производственный вектор (X*,Y*) эффективен, если (X*,Y*) e T и не существует вектора (X,Y) e T, отличного от (X*,Y*) и такого, что X < X*, Y > Y*.

Эффективные точки образуют в многомерном пространстве производственных параметров Em+r эффективную гиперповерхность (фронт), являющуюся аналогом производственной функции.

Напомним, что производственная функция является важным понятием в макро- и микроэкономике. Она устанавливает соответствие между входными производственными параметрами и максимально возможным выпуском продукции в данных экономических условиях. В основном, в научных работах рассматривается один выходной продукт при нескольких входных, отсюда и название - функция. Рассматриваемая в технологии АСФ эффективная гиперповерхность обобщает, по существу, понятие производственной функции на случай многомерного выпуска продукции.

Наша задача состоит в том, чтобы уметь определять эффективные и неэффективные производства, вычислять количественную меру эффективности, строить эффективную гиперповерхность, находить эталонные производства.

Для этого рассмотрим нелинейную задачу математического программирования:

Здесь xkj и yij представляют собой наблюдаемые параметры входных величин k=1, ..., m и выходных величин i=1, ..., r для производственных объектов j=1, ..., n. Индекс o соответствует одному из производственных объектов j=1, ..., n, который в данный момент оценивается. Переменные mi и vk являются оценками выходных и входных производственных факторов.

Мера эффективности в задаче (1)-(4) определяется как отношение взвешенной суммы выходных параметров к взвешенной сумме входных производственных параметров. Задача, таким образом, состоит в максимизации эффективности заданного производственного объекта при условии, что аналогичные отношения для других производственных объектов не превышают заданной нормы.

Используя известные соотношения и теоремы математического программирования эту задачу можно свести к следующей паре прямой и двойственной задач (см. формулы (5)-(9)).

Параметр e в прямой и двойственной задачах представляет собой бесконечно малую величину. Этот параметр играет важную роль, как для теоретического обоснования перехода от нелинейной задачи (1)-(4) с особыми точками к паре прямой и двойственной задач, так и при практическом решении задач P1 и D1 для определения меры эффективности конкретного объекта. При моделировании, однако, оперирование с бесконечно малой величиной e можно исключить, но тогда задачи P1 и D1 потребуется решать в два этапа. В дальнейшем будем считать, что решение задач происходит именно таким образом.

Оптимальное значение u* прямой задачи дает обобщенную меру производственной эффективности для исследуемого ПО. Из вида задачи следует, что u* < 1. Процесс решения задач повторяется для всех исследуемых производств. ПО, для которого получилось u*<1, является неэффективным.

Все эффективные точки (производственные объекты) лежат на границе множества производственных возможностей. Однако, не все граничные точки будут эффективными. Приводимые ниже эквивалентные утверждения дают условия для определения эффективных точек модели.

Теорема 1. Точка (Xo, Yo) e T является эффективной, если в результате решения прямой задачи получено:

1. u* = 1, и

2. u* Xo = Xl* и Yo = Yl* для всех оптимальных значений l*.

Здесь матрицы X и Y составлены из входных и выходных вектор-столбцов производственных объектов j=1,..., n, а вектор l* = (l1*, ... ,ln*) является оптимальным решением прямой задачи.

Теорема 2. Точка (Xo, Yo) e T является эффективной, если в результате решения прямой задачи получено:

1. u* = 1, и

2. существуют оптимальные значения двойственных переменных

ui* > 0, i = 1, ... , r, vk* > 0, k = 1, ... , m.

Неэффективный ПО (Xo, Yo) можно сделать по крайней мере слабо эффективным посредством пропорционального уменьшения входных параметров объекта. Проекция (Xo, Yo) ╦ (u*Xo, Yo) дает граничную точку множества производственных возможностей.

Эффективная точка получается с помощью дополнительных переменных S- = (s1-,...,sr-), S+ = (s1+,...,sm+) посредством сдвига по ним (u*Xo*-S+, Yo*+S-). Напомним, что здесь дополнительные переменные получены на второй фазе решения оптимизационной задачи.

Ненулевые элементы в векторе оптимального решения l* определяют эталонное множество для данного ПО (Xo, Yo).

В технологии АСФ все граничные точки принято разбивать на три множества E, E9, F. К множеству E принадлежат эффективные экстремальные точки, т.е. вершины допустимого множества. Множество E9 состоит из эффективных точек, но не экстремальных, их можно выразить через выпуклую комбинацию точек множества E. В множество F входят граничные, но неэффективные точки.

Все неэффективные точки допустимого производственного множества делятся, соответственно, на подмножества NE, NE9, NF, в зависимости от того, в какое подмножество на границе они могут быть спроектированы посредством радиальной проекции, E, E9 или F.

По существу, технология АСФ представляет собой целый большой класс моделей, связанных общей методологией, но показывающих разные характеристики производственного объекта, в зависимости от того, как необходимо высветить объект.

Первой в классе моделей АСФ была предложена в научной литературе модель CCR (по первым буквам фамилий авторов Charnes, Cooper, Rhodes). Модель CCR получается из прямой задачи, если в ней убрать ограничения выпуклости (8). В двойственной задаче, соответственно, исчезает переменная u0. Эта модель выявляет эффективные точки с наибольшей масштабной эффективностью.

Определение. В точке (X9,Y9) e T достигается наибольшая масштабная производственная эффективность (н.м.п.э.), если из условия (aX9,bY9) e T следует a > b, здесь a и b - положительные действительные числа.

Пользуясь аналогией с техническими системами, отметим, в точках с наибольшей масштабной эффективностью достигается наибольший КПД, или, с экономической точки зрения, это точки с постоянным эффектом масштаба.

Однако модель CCR не учитывает нелинейность производственной функции, в научной литературе ее часто называют моделью с постоянным эффектом масштаба.

С помощью модели (5)-(9) можно построить аппроксимацию нелинейной производственной функции, т.е. получается модель с переменным эффектом масштаба. Эту модель называют также моделью BCC (по фамилиям авторов Banker, Charnes, Cooper).

В научной литературе было предложено много тонких методов для определения эффекта масштаба, на основе моделей CCR и BCC, при этом часто использовались решения задачи D1. На наш взгляд, убедительнее строить на основе модели (5)-(9) аппроксимацию производственной функции для исследуемого объекта, используя методы параметрического программирования. На этой кривой будут четко определены эффективные точки и какой в них эффект масштаба. Данный подход будет показан далее на практических расчетах.

В моделях АСФ допускается использование "знаний" экспертов, накопленного опыта, для того, чтобы исключить "странные" решения задач. Это делается с помощью введения дополнительных ограничений в модели, ограничений на вектора оценки (двойственные переменные), конусов гарантированности и т.д.

Система оптимизационного моделирования

Рис.1. Функциональная схема системы оптимизационного моделирования

Для реализации технологии АСФ и применения ее к различным производственным объектам авторами была разработана система оптимизационного моделирования, функциональная схема которой показана на рис.1.

Блок внешних данных подключается к системе и содержит информацию об объектах, которые необходимо исследовать (нефтяные компании, банки, фирмы и т.д.). В зависимости от степени детализации, выбора основных параметров, размера всей задачи данные из этого блока агрегируются и преобразуются во внутренний формат данных системы, и записываются во внутреннюю базу данных.

Цель исследования конкретных производственных объектов определяет выбор моделей АСФ и набор параметров. Генератор модели на основе информации, хранящейся во внутренней базе данных, формирует задачу оптимизации и записывает ее в специальном формате. По существу генератор создает целое семейство оптимизационных задач, которые необходимы для построения всего эффективного фронта. Выходной файл генератора моделей передается на вход оптимизатора, который после решения выдает информацию также в специальном виде. Оптимизатор модели разработан на основе последних достижений в области теории и методов решения задач большой размерности и способен решать задачи с десятками и сотнями тысяч переменных и ограничений.

В базе знаний накапливается информация об исследованных задачах (правила агрегирования, поведение объектов в динамике, значения оптимальных решений и параметров и т.д.) для последующего использования и построения новых моделей на основе полученных знаний.

Применение технологии АСФ к нефтяным компаниям

Рассмотренная технология АСФ была использована для расчета и анализа эффективности деятельности ведущих нефтяных компаний страны. Для моделирования и анализа было выбрано 27 нефтяных компаний, данные для расчетов были взяты из открытых источников за 1995 г.

Входные и выходные величины для данной нефтяной модели были определены следующим образом.

Входные параметры:

x1j(вход 1): освоение капитальных вложений в бурении в млн.руб., разведочное + эксплуатационное бурение;

x2j (вход 2): закупка оборудования в млн.руб.;

x3j (вход 3): освоение капитальных вложений в строительстве в млн.руб., индустриальное + непроизводственное строительство.

Выходные параметры:

y1j (выход 1): добыча нефти с газовым конденсатом в тыс. тонн, где j=1,...,27.

Рис.2. Производственная функция компании Удмуртнефть

Сначала рассмотрим результаты моделирования для некоторых конкретных объектов. На рис.2 и 3 представлены расчетные графики по компаниям Удмуртнефть и Черногорнефть, соответственно, которые представляют собой сечение двухмерной плоскостью (aXo, bYo), где a и b - произвольные действительные числа эффективной гиперповерхности в четырехмерном пространстве входных и выходных величин, т.е. ось x соответствует направлению aXo, а ось y связана с лучом bYo. Таким образом, график являeтся аппроксимацией в многомерном пространстве производственной функции. Красной точкой обозначен исследуемый объект. Единицы измерения по осям x и y даны в масштабе исследуемого объекта, т.е. координаты (1,1) соответствуют объекту (Xo, Yo).

Рис.3. Производственная функция компании Черногорнефть

Остановимся на данном примере подробнее. Обобщенная мера эффективности для Удмуртнефти равняется 56%. Это означает, что вектор затрат можно сократить на 44%, сохранив при этом уровень добычи нефти.

Вектор затрат для данной компании имеет значения:

x1o = 99081 - затраты на бурение в млн. руб.;

x2o = 99633 - затраты на закупку оборудования в млн. руб.;

x3o = 212449 - затраты на строительство в млн. руб.

Добыча нефти при этом - 6009,4 тыс.тонн. Моделирование показывает, что вектор затрат можно сократить до величины X9o = u*Xo:

x91o = 55485 - затраты на бурение в млн. руб.;

x92o = 55794 - затраты на закупку оборудования в млн. руб.;

x93o = 118971 - затраты на строительство в млн. руб.

Добыча нефти при сокращении затрат сохраняется.

Как было показано в основной части работы, эффективную точку можно получить из решения оптимизационной модели с помощью проекции и сдвига по формуле:

(u*Xo*-S+, Yo*+S-), где S- и S+ - векторы дополнительных переменных модели.

Для Удмуртнефти значения дополнительных переменных в результате решения оптимизационной задачи (5-9) оказались равными нулю, поэтому объект становится эффективным после операции проектирования, т.е. (X9o, Y9o)= (u*Xo, Yo).

Поскольку эффективность компании Удмуртнефть меньше 100%, то, как видно из рис. 2, она находится под эффективной гиперповерхностью. Обобщенная мера производственной эффективности для Черногорнефти равняется 100% и, как видно из рис.3, эта компания расположена на эффективной поверхности.

Рис.4. Производственные объекты в пространстве входных параметров

Рис.4 поясняет смысл пропорционального сокращения затрат для исследуемого объекта, в данном случае компании Удмуртнефть. Ломаная кривая на рисунке называется изоквантой, ее часто изображают в монографиях по микро- и макроэкономике. На ней расположены эффективные точки. По осям x1 и x2 откладываются величины затрат производственных объектов, а сами точки соответствуют исследуемым объектам. Пусть в результате решения оптимизационной модели для неэффективного объекта L получено значение обобщенной меры эффективности u*. Тогда затраты данного производства можно сократить до величины u*Xo, тем самым точка L проектируется на изокванту и попадает в точку L9.

На данном рисунке также можно показать введенные ранее множества E, E9, F. Точки A, B, C принадлежат множеству E. Точки на отрезках AB, BC входят в множество E1. Они относятся к эффективным точкам. Точка D, в которой наблюдается слабая эффективность, относится к множеству F.

В таблице приведены результаты моделирования по технологии АСФ для всех 27 нефтяных компаний.

Результаты моделирования интересны еще и тем, что в таблице некоторые компании представлены вместе со своими филиалами. Например, в Роснефть входят компании Дагнефть, Калмнефть, ... , Ставропольнефтегаз. Это дает возможность такой компании оценить свою деятельность не только во внешней экономической среде, но и проанализировать состояние дел внутри большой компании.

Данный пример носит иллюстративный характер. Для выработки конкретных рекомендаций для компаний надо производить исследование на большем массиве реальных данных. Но такая работа производится уже под конкретного заказчика.

Возможности технологии АСФ

В данной работе была представлена одна из высоких технологий по анализу эффективности деятельности сложных объектов (нефтяных компаний, банков, компьютерных производств и т.д.)

Применение АСФ-технологии позволяет:

• обеспечивать диагностику функционирования сложных объектов, давать панорамную картину деятельности производственных объектов в их взаимодействии;
• определять эффективно и неэффективно работающие объекты по всему пространству параметров и множеству объектов, находить количественную меру эффективности;
• строить эффективную границу (гиперповерхность) деятельности производственных объектов в многомерном пространстве параметров;
• указывать эффективные цели для каждого объекта, т.е. эталонную группу эффективных объектов, наиболее близких по своим показателям к исследуемому объекту;
• находить наилучшие пути достижения эффективных целей;
• накапливать информацию и знания и проигрывать возможные ситуации и варианты действий, отслеживать динамику и выявлять тенденции в развитии объектов;
• оценивать качество менеджмента, определять наиболее перспективные филиалы объектов и виды деятельности.

Хотя используемый математический аппарат и программные средства при моделировании достаточно сложны и относятся к классу высокоинтеллектуальных технологий, получаемые результаты могут быть легко проинтерпретированы бизнесменами, выражены в экономических и финансовых терминах, представлены наглядно в виде диаграмм, графиков, таблиц и т.д.

Исследование выполнено в рамках работ, проводимых компанией "Стратегический Анализ и Консалтинг"
г. Москва тел./факс 206-8209, 206-8309 E-mail: vladimir@SAcont.msk.ru

Литература

1. Charnes A., Cooper W.W. and Rhodes E. Measuring of efficiency of decision making units. - EJOR 2, 1978.
2. Banker R.D., Charnes A., Cooper W.W. Some models for estimating technical and scale efficiency in data envelopment analysis. - Management Science 30/9, 1984.
3. Wang C.H., Gopal R.D. and Zionts S. Use of Data Envelopment Analysis in assessing Information Technology impact on firm performance. - Annals of OR 73, 1997.
4. Paradi J.C., Reese D.N. and Rosen D. Application of DEA to measure the efficiency of software production at two large Canadian banks. - Annals of OR 73, 1997.
5. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. - М., Мир, 1964.
6. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. - М., Мир, 1972. Ланкастер К. Математическая экономика. - М., Советское радио, 1972.